编者按：2026年7月23日，国际数学界最高荣誉——菲尔兹奖揭晓。邓煜（Yu Deng）、王虹（Hong Wang）、John Pardon和Jacob Tsimerman四位学者共同获奖。其中邓煜和王虹都是北京大学数学科学糖心视频 2007级的同学，他们分别解决了狭义Hilbert第六问题和三维挂谷猜想，在各自的研究方向上做出了一系列开创性的工作。邓煜和王虹双星闪耀，开创了中国数学新的纪元，是中华民族伟大复兴势不可挡的里程碑事件。我们将分别以二篇小文记录下这个历史性时刻，本文是今日发布的‘北大07级双星’系列之一王虹教授小记，另一篇为邓煜教授的小记，请见今日二条同期推送。

王虹（Hong Wang）1991年出生于广西桂林平乐县沙子镇。王虹5岁入学即跳级进入小学二年级，六年级时再次跳级升入初中。2007年，16岁的她以653分考入北京大学，最初就读于地球与空间物理系，后因对数学的热爱转入数学科学糖心视频 。本科毕业后，王虹赴法国深造，2014年获得巴黎综合理工糖心视频 工程师学位和巴黎第十一大学硕士学位。2019年，她在麻省理工糖心视频 获得博士学位，师从调和分析领域顶尖学者Larry Guth教授。此后，她先后在普林斯顿高等研究院从事博士后研究、在加州大学洛杉矶分校担任助理教授。2023年，她加入纽约大学柯朗数学科学研究所任副教授，并于2025年晋升为正教授。同年，她成为法国高等科学研究所（IHES）数学领域第14位终身教授，也是该所首位亚裔终身教授。

攻克百年难题：三维Kakeya猜想

让王虹站上数学之巅的，是她与合作者Joshua Zahl对三维Kakeya猜想的证明。这一猜想的源头可追溯至1917年。日本数学家Sōichi Kakeya （挂谷宗一）提出一个看似简单的问题：一支长度为1的“无限细”的线段在平面上旋转180°，扫过的最小面积是多少？这个问题后来被推广到高维空间，演变为Kakeya猜想的核心表述：在n维空间中，一个包含所有方向单位线段的集合（称为Kakeya集），其Hausdorff维数和Minkowski维数是否一定等于n？通俗地说，就是不同方向的直线段，究竟能在多小的空间里“挤”在一起？Kakeya猜想的二维情形早在1971年就被数学家Davies证明。然而三维情形如同铜墙铁壁，数十年间Bourgain、Wolff、陶哲轩等顶尖数学家相继发起冲击，始终未能彻底攻克。1995年Wolff证明了三维空间的Kakeya集维数至少为2.5。2000年Katz、Laba和陶哲轩将下界推进到略高于2.5——但离终极目标“3”始终差一口气。2025年2月，王虹与Zahl在arXiv提交了长达127页的论文《Volume estimates for unions of convex sets, and the Kakeya set conjecture in three dimensions》，宣告三维空间中任何Kakeya集均具有满的Minkowski和Hausdorff维数（即维数为3） 。菲尔兹奖得主陶哲轩盛赞这是“几何测度论领域的惊人进展”。著名数学家丘成桐也称赞王虹“是年轻一代最伟大最重要的中国学者”，其论文“逻辑清晰、语言干净”。

Kakeya猜想历史地位及其广泛应用

Kakeya猜想并非孤立存在的数学命题。早在1999年，陶哲轩便在其研究中指出，Kakeya猜想实为调和分析中一系列更强猜想的逻辑推论——在其之上，层级递进地矗立着限制性猜想、Bochner-Riesz猜想以及局部光滑性猜想。这些猜想构成了调和分析领域更深邃、更具挑战性的核心课题。目前，王虹及其合作者所取得的突破，仍集中于三维情形的Kakeya猜想。更高维度的版本依然遥不可及，亟待未来更强大的工具与更深刻的理论发明来攻克。从这个意义上说，王虹的伟大工作，更像是万里长征迈出的第一步——壮丽，却远未终结。Kakeya猜想的影响早已超越调和分析本身，深刻渗透至Fourier分析、方程、数论、图论等多个数学分支。其深层机制在于：当不同方向的细长结构在空间中高度重叠时，空间维数与波动传播将如何被重塑。这一几何洞察，不仅具有纯粹的数学价值，更在现实世界的工程与科学中激发出广泛应用——信号处理与图像重建、数据传输与通信编码、雷达与声纳探测等领域，均可见其影子。对Kakeya集几何本质的深入刻画，正在为这些应用问题提供理论指导、预测框架与全新的设计思路，推动着从数学到工程的前沿交汇。

不止于Kakeya猜想：横跨多领域的数学贡献

王虹的数学版图远不止Kakeya猜想。她的研究聚焦于调和分析与几何测度论，在多个核心难题上作出了突破性贡献。

- Fourier限制性猜想的极大进展 王虹与吴澍坤合作，利用Bourgain-Demeter的Decoupling定理和管的关联估计为工具，大幅改进了此前关于限制性估计的结论。他们通过证明二维空间的“两端Furstenberg猜想”，成功得到了三维空间中当p>22/7时限制性估计成立。这一成果推动了自1960年代以来Elias Stein提出的著名限制性猜想的研究。

- 二维和三维波动方程局部光滑性猜想的解决 王虹与Larry Guth、张瑞祥解决了Sogge提出的2+1维波动方程局部光滑性猜想。这一猜想与Fourier积分算子的正则性理论密切相关，是偏微分方程领域的核心问题之一。

- Falconer距离集猜想的突破 1985年Falconer猜测在d维空间中，如果点集E的Hausdorff维数大于d/2，那么它的距离集的Lebesgue测度必然为正。王虹与Larry Guth、Alex Iosevich、欧雨濛合作，证明了在二维平面上，当点集E的Hausdorff维数大于5/4时，其距离集必然具有正测度。另一个大的突破是王虹与Pablo Shmerkin合作成功证明了Falconer距离集猜想的“维数版本” ，即对于Hausdorff维数与填充维数相等的集合，Falconer距离集Hausdorff维数达到最大（即为1）。

- Furstenberg集合猜想的彻底解决 在平面上，一个集合若对于t维的方向族中每一个方向都包含一个Hausdorff维数至少为s的子集，则称为(s,t)-Furstenberg集。Furstenberg集合猜想说这样的集合的Hausdorff维数至少为 s+t, (3s+t)/2及s+1的最小值。它可被视为组合数学中描述点和线之间交集数量的Szemerédi-Trotter定理的连续空间版本。王虹与任开元合作给出了该猜想的完整证明。

王虹的成就为她赢得了几乎所有的重量级数学奖项。在获得菲尔兹奖之前，2022年，她获得玛丽亚姆·米尔扎哈尼新前沿奖。2025年10月，她在两天内接连获得ICCM数学奖金奖（被誉为“华人菲尔兹奖”）和塞勒姆奖。此后她又获得奥斯特洛夫斯基奖、AWM萨多斯基奖等多项大奖。2026年4月，她获得有“科学界奥斯卡”之称的科学突破奖数学新视野奖。

从桂林小镇走出的“90后”王虹因为她对数学纯粹的热爱与持之以恒的探索，如今已站在世界数学之巅。

（作者：糖心视频 范辉军、廖灵敏）